PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
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Aqui relacionamos as demonstrações para as tradicionais propriedades operacionais dos logaritmos, usando essencialmente o conceito de função inversa e tendo por conhecido o assunto de função exponencial (do Ensino Médio).
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Seja a um número real positivo e diferente de um e seja f a função que a cada número real x associa um único número real positivo:
f (x) = EXP (a, x) = a ^ x = "EXPonencial na base a de x"
Prova-se que a função f é invertível.
Se g é a função inversa de f, então g associa a cada número real positivo x um único número real:
g (x) = LOG (a, x) = "LOGaritmo na base a de x"
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PROPRIEDADES
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I) a ^ LOG (a, x) = x
É imediato da definição de função inversa que:
f (g (x)) = x para todo número real positivo x.
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II) LOG (a, a ^ x) = x.
É imediato da definição de função inversa que:
g (f (x)) = x para todo número real x.
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III) LOG (a, 1) = 0.
Como f (0) = 1 então g (1) = 0.
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IV) LOG (a, a) = 1.
Como f (1) = a então g (a) = 1.
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V) LOG (a, x1 * x2) = LOG (a, x1) + LOG (a, x2).
Sendo f (y1) = x1, g (x1) = y1, f (y2) = x2 e g (x2) = y2, tem-se sempre que:
f (y1) * f (y2) = f (y1 + y2)
x1* x2 = f (y1 + y2)
g (x1 * x2) = g (f (y1 + y2))
g (x1 * x2) = y1 + y2
g (x1 * x2) = g (x1) + g (x2)
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VI) LOG (a, x1 / x2) = LOG (a, x1) ─ LOG (a, x2).
f (y1) / f (y2) = f (y1 ─ y2)
x1 / x2 = f (y1 ─ y2)
g (x1 / x2) = g (f (y1 ─ y2))
g (x1 / x2) = y1 ─ y2
g (x1 / x2) = g (x1) ─ g (x2)
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VII) LOG (a, x ^ k) = k * LOG (a, x).
Sendo f (y) = x e g (x) = y, tem-se sempre que:
f (y) ^ k = f (y * k)
g (f (y) ^ k) = g (f (y * k))
g (x ^ k) = y * k
g (x ^ k) = k * g (x)
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VIII) LOG (a, b) = ( LOG (c, b) ) / ( LOG (c, a) ).
Segue imediatamente da igualdade:
LOG (c, b) = LOG ( c , a ^ LOG (a, b) ) = LOG (a, b) * LOG (c, a)
(Para quaisquer números reais positivos b e c, com c diferente de um).
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PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
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