TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 03

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 03

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Público alvo: Professores e Licenciandos.

Conteúdo (11 páginas): Definição da relação de divisibilidade, definição ampla de divisibilidade, definição de quociente exato, prova de que  zero é o único múltiplo universal, prova de que 1 e (-1) são os únicos divisores universais, propriedade fundamental da relação de divisibilidade, prova de que todo inteiro não nulo possui uma quantidade finita e par de divisores não nulos que somam zero, todas as propriedades adicionais da relação de divisibilidade, prova de que a relação de divisibilidade é uma relação de ordem sobre os inteiros não negativos e uma contrapartida multiplicativa da relação menor do que ou igual a sobre os inteiros positivos, definição de divisão euclidiana, prova de existência e unicidade do quociente e do resto em uma divisão euclidiana, Lema de Eudóxio, exemplos de divisão euclidiana, método para realizar qualquer divisão euclidiana fazendo (na prática) apenas a divisão euclidiana dos valores absolutos dos dois números inteiros dados, mostrando quando é possível permutar divisor e quociente sem alterar o dividendo e o resto em uma divisão euclidiana, como obter todos os divisores de um inteiro não nulo, prova de que um inteiro positivo é um quadrado perfeito se e somente se possui uma quantidade ímpar de divisores positivos, como calcular o produto dos divisores positivos de um inteiro não nulo, prova de que o produto de k inteiros consecutivos é sempre divisível por k!,  a partição dos inteiros via divisão euclidiana de divisor maior do que ou igual a dois, prova de que multiplicar/dividir dividendo e divisor por um mesmo inteiro positivo c não altera o quociente mas multiplica/divide o resto por c, (+15) exemplos detalhados, (+38) exercícios resolvidos, (+6) exercícios propostos etc.

Próximo volume: Numeração, teorema de resto, critérios de resto (base dez), critérios de resto (base qualquer), algoritmos das operações elementares (base dez), algoritmos das operações elementares (base qualquer).

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 03

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 02

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 02 

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Público alvo: Professores e Licenciandos.

Conteúdo (22 páginas): 

- Concluindo a fundação: Soma generalizada, produto generalizado, definição equivalente de soma generalizada, definição equivalente de produto generalizado, associatividade generalizada, comutatividade generalizada, distributividade generalizada, propriedade generalizada de anulação de um produto, propriedade generalizada de anulação de uma soma de quadrados, propriedade generalizada do valor absoluto de um produto, desigualdade triangular generalizada, propriedade generalizada de anulação de uma soma de números não negativos, conjuntos numéricos inteiros, partição dos inteiros em pares e ímpares, conjuntos dos pares e dos ímpares (e as suas propriedades), quociente de dois números, (+10) propriedades fundamentais etc.

- Potenciação de expoente natural: Definição e considerações iniciais,  expoente zero, base zero e expoente zero, um operador para a potenciação, precedência e associatividade, leis dos expoentes, monoticidade de potência de base não negativa, monoticidade de potência de expoente ímpar, monoticidade absoluta de potência de expoente par, diferença de enésimas potências (e propriedades afins), (+10) propriedades fundamentais etc.

- (13+) Aplicações iniciais de indução matemática: Soma dos n primeiros naturais, soma dos quadrados dos n primeiros naturais, entendendo que 2^n é quase sempre maior do que 2n + 1, entendendo que 2^n é quase sempre maior do que n^2, sequências aritméticas (A), sequências geométricas (G), definições indutivas, exemplo de indução de ordem superior: recorrência de segunda ordem com Iteração de Fibonacci, três versões da famosa Desigualdade de Bernoulli, fatoriais, número de subconjuntos de um conjunto finito, Binômio de Newton (e diversas propriedades afins), (+5) exercícios propostos etc.

- (8+) Aplicações intermediárias de indução matemática: Conjecturas e Provas: soma dos n primeiros naturais ímpares, soma dos n primeiros naturais (duas conjecturas),  soma dos quadrados dos n primeiros naturais, soma dos cubos dos n primeiros naturais, sequências aritméticas (termo geral e soma dos n primeiros termos) (A), sequências geométricas (termo geral e soma dos n primeiros termos) (G), sequências geométrico-aritméticas (termo geral e soma dos n primeiros termos) (GA), resolução de uma recorrência de segunda ordem.  Aplicações Lúdicas: A Sequencia de Fibonacci (o problema dos coelhos e o termo geral), A falácia da cor do cavalo ("todos os cavalos possuem a mesma cor"), As Torres de Hanói, A moeda falsa (para 2^n moedas e para 3^n moedas), A Pizza de Steiner (duas soluções), O Queijo de Steiner (duas soluções), (+12) exercícios propostos etc.

- (12+) Aplicações avançadas de indução matemática:  entendendo que um natural elevado ao seu sucessor é quase sempre maior do que a mesma potência com os termos trocados, entendendo que o quadrado do fatorial de um natural n é quase sempre maior do que a enésima potência de n, estudo introdutório da sequência canônica que converge para o número real e (ela é crescente e cada um dos seus termos está entre 2 e 3), entendendo que a enésima potência do natural n quase sempre supera o produto dos n primeiros naturais ímpares, entendendo que a enésima potência do natural n quase sempre supera o produto dos n primeiros naturais ímpares por n/2, desigualdades das três médias (AGH), relação das três  médias (AGH) para um ou dois números, interpretação geométrica das três médias (AGH) para dois números, sequências harmônicas (H), confronto média (AGH) versus sequência (AGH), média quadrática (Q), Produto de Girard, soma telescópica (ou soma encaixante), (+4) exercícios propostos etc. 

Próximo volume: Divisibilidade e Divisão Euclidiana.

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 02

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 01

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS  01

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Público alvo: Professores e Licenciandos.

Conteúdo (15 páginas): Números (operações e as suas propriedades fundamentais), a operação de adição, a operação de multiplicação, consistência aditiva da relação de igualdade, consistência multiplicativa da relação de igualdade, os nove axiomas, o oposto do oposto, a operação de subtração, igualdade/diferença, absorvente multiplicativo, obtenção multiplicativa do oposto, regra de sinais, cancelamento aditivo da relação de igualdade, cancelamento multiplicativo da relação de igualdade, anulação de um produto,  anulação quadrático linear, o produto de dois conjugados, entendendo que os quadrados de dois números são iguais se e somente se os números são iguais ou opostos,  sobre a unicidade dos neutros, sobre a unicidade do inverso aditivo,  sobre 1 ser diferente de 0, sobre (-1) ser diferente de 0, sobre precedência e associatividade,  sobre ser bem determinada a soma e o produto de três números quaisquer, números (os positivos, o zero e os negativos), os dois axiomas, desigualdades, relação menor do que (maior do que), relação menor do que (maior do que) ou igual a, quadrado positivo definido, -1 < 0 < 1 , regra de sinais, transitividade [da relação maior do que (menor do que)], cancelamento aditivo [IDEM], cancelamento multiplicativo positivo [IDEM], anti cancelamento multiplicativo negativo [IDEM], consistência aditiva [IDEM], consistência multiplicativa positiva [IDEM], anulação de uma soma de quadrados, monoticidade de quadrado de base não negativa, tricotomia quadrática,  sobre 1 ser diferente de (-1), sobre 2 ser diferente de 0, entendendo que um número é igual ao seu oposto se e somente se ele é igual a zero, sobre a operação de subtração não ser comutativa, sobre a relação de igualdade ser uma relação de equivalência, sobre a relação maior do que (menor do que) ou igual a ser uma relação de ordem e todas as suas propriedades fundamentais, estudo inicial completo sobre valor absoluto e (especialmente) desigualdade triangular, Axioma de Boa Ordem (mínima), propriedade do menor inteiro positivo (não existe inteiro entre zero e um), propriedade de integralidade dos inteiros (não existe inteiro entre quaisquer dois inteiros consecutivos),  Propriedade de Boa Ordem  (máxima e finita), Propriedade de Arquimedes, Propriedade de Indução I (de conjuntos e de proposições), Propriedade de Indução II (de conjuntos e de proposições), Indução de Ordem Superior, Boa Ordem (mínima) equivale a Boa Ordem (máxima) que equivale a Indução I ( de conjuntos) que equivale a Indução I (de proposições) que equivale a Indução II (de conjuntos) que equivale a Indução II (de proposições) etc.

Próximo volume: Concluindo a fundação da teoria elementar dos números (incluindo todas as generalizações cabíveis no momento), potenciação de expoente inteiro positivo e aplicações gerais (iniciais, intermediárias e avançadas) de indução matemática.

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS  01