TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 02

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 02 

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Público alvo: Professores e Licenciandos.

Conteúdo (22 páginas): 

- Concluindo a fundação: Soma generalizada, produto generalizado, definição equivalente de soma generalizada, definição equivalente de produto generalizado, associatividade generalizada, comutatividade generalizada, distributividade generalizada, propriedade generalizada de anulação de um produto, propriedade generalizada de anulação de uma soma de quadrados, propriedade generalizada do valor absoluto de um produto, desigualdade triangular generalizada, propriedade generalizada de anulação de uma soma de números não negativos, conjuntos numéricos inteiros, partição dos inteiros em pares e ímpares, conjuntos dos pares e dos ímpares (e as suas propriedades), quociente de dois números, (+10) propriedades fundamentais etc.

- Potenciação de expoente natural: Definição e considerações iniciais,  expoente zero, base zero e expoente zero, um operador para a potenciação, precedência e associatividade, leis dos expoentes, monoticidade de potência de base não negativa, monoticidade de potência de expoente ímpar, monoticidade absoluta de potência de expoente par, diferença de enésimas potências (e propriedades afins), (+10) propriedades fundamentais etc.

- (13+) Aplicações iniciais de indução matemática: Soma dos n primeiros naturais, soma dos quadrados dos n primeiros naturais, entendendo que 2^n é quase sempre maior do que 2n + 1, entendendo que 2^n é quase sempre maior do que n^2, sequências aritméticas (A), sequências geométricas (G), definições indutivas, exemplo de indução de ordem superior: recorrência de segunda ordem com Iteração de Fibonacci, três versões da famosa Desigualdade de Bernoulli, fatoriais, número de subconjuntos de um conjunto finito, Binômio de Newton (e diversas propriedades afins), (+5) exercícios propostos etc.

- (8+) Aplicações intermediárias de indução matemática: Conjecturas e Provas: soma dos n primeiros naturais ímpares, soma dos n primeiros naturais (duas conjecturas),  soma dos quadrados dos n primeiros naturais, soma dos cubos dos n primeiros naturais, sequências aritméticas (termo geral e soma dos n primeiros termos) (A), sequências geométricas (termo geral e soma dos n primeiros termos) (G), sequências geométrico-aritméticas (termo geral e soma dos n primeiros termos) (GA), resolução de uma recorrência de segunda ordem.  Aplicações Lúdicas: A Sequencia de Fibonacci (o problema dos coelhos e o termo geral), A falácia da cor do cavalo ("todos os cavalos possuem a mesma cor"), As Torres de Hanói, A moeda falsa (para 2^n moedas e para 3^n moedas), A Pizza de Steiner (duas soluções), O Queijo de Steiner (duas soluções), (+12) exercícios propostos etc.

- (12+) Aplicações avançadas de indução matemática:  entendendo que um natural elevado ao seu sucessor é quase sempre maior do que a mesma potência com os termos trocados, entendendo que o quadrado do fatorial de um natural n é quase sempre maior do que a enésima potência de n, estudo introdutório da sequência canônica que converge para o número real e (ela é crescente e cada um dos seus termos está entre 2 e 3), entendendo que a enésima potência do natural n quase sempre supera o produto dos n primeiros naturais ímpares, entendendo que a enésima potência do natural n quase sempre supera o produto dos n primeiros naturais ímpares por n/2, desigualdades das três médias (AGH), relação das três  médias (AGH) para um ou dois números, interpretação geométrica das três médias (AGH) para dois números, sequências harmônicas (H), confronto média (AGH) versus sequência (AGH), média quadrática (Q), Produto de Girard, soma telescópica (ou soma encaixante), (+4) exercícios propostos etc. 

Próximo volume: Divisibilidade e Divisão Euclidiana.

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