HELLO 2013!!!

HELLO 2013!!!

O projeto primário do BLOG para 2013 é a escrita e a publicação de um livro de Cálculo I. A atitude e o formalismo de tal texto vão estar entre os de um típico curso de Cálculo I e os de um típico curso de Análise I. Pretendemos usar um número maior de volumes desta vez, porém com uma menor quantidade de páginas em cada um deles.

O projeto secundário é a feitura e a postagem de volumes de problemas resolvidos e de volumes de resumos teóricos (com a maior variedade possível). Algo que objetiva manter o BLOG em constante funcionamento.

O projeto terciário é completar os sete volumes das construções dos cinco conjuntos numéricos tradicionais (com duas construções para o conjunto dos números reais). Com uma versão resumida da Teoria dos Conjuntos como volume inicial.

HELLO 2013!!!

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS (ÁLGEBRA 1)

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS (ÁLGEBRA 1)

ZIP aqui

Público alvo: Professores e Licenciandos.

Aqui oferecemos uma introdução a Teoria Elementar dos Números (Álgebra I) destinada a licenciandos e professores de matemática em geral.

A primeira metade (em sete volumes e 133 páginas, que agora apresentamos) traz um contato inicial (em nível superior) com a Teoria Elementar dos Números Inteiros. Para evitarmos posteriores duplicações desnecessárias, os dois primeiros volumes tratam principalmente da Álgebra dos Números (dos números inteiros, dos números racionais, dos números reais e mesmo dos números complexos) e da Propriedade de Indução (e das suas propriedades equivalentes). Os cinco volumes seguintes desenvolvem somente os números inteiros.

A segunda metade (em sete volumes e ainda a aparecer) traz (em nível superior) As Construções dos Cinco Principais Conjuntos Numéricos, incluindo duas construções para o conjunto dos números reais.

O presente material objetiva oferecer uma referência segura sobre o ensino do assunto Número dentro dos doze primeiros anos de escolaridade. O docente (presente ou futuro) deve ser capaz de sanar quase toda dúvida relacionada consultando estas notas.

Utilizamos aqui o método axiomático (sem excessos e pedantismos) para o desenvolvimento da teoria, sempre intercalando com observações, comentários, exemplos e exercícios que podem fugir ao nosso escolhido nível de rigor. Consideramos como pré-requisito toda a matemática elementar escolar (uma vez que falamos para universitários e além), especialmente Linguagem de Conjuntos e Lógica.

O fornecido arquivo ZIP contém um (detalhado) volume de introdução mais os mencionados sete volumes de conteúdo.

ATENÇÃO: Um leitor com um conhecimento médio de álgebra dos números e um conhecimento mínimo da propriedade de indução pode (se desejar) pular diretamente para a página oito do segundo volume, uma vez que as suas  três últimas seções formam um pequeno Manual sobre Indução Matemática (que navega por toda a matemática elementar escolar). Seguindo dai os seus estudos sobre os números inteiros e além.

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS (ÁLGEBRA 1)

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 07

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 07

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Público alvo:  Professores e Licenciandos.

Conteúdo (13 páginas): Definição de congruência módulo d, entendendo que a relação de congruência módulo d é uma relação de equivalência sobre os inteiros, definição alternativa de congruência módulo d, a partição dos inteiros em classes de congruência módulo d, a aritmética de restos euclidianos por d, a aritmética de um relógio de 24 horas, consistência (com as operações de adição e de multiplicação) da relação de congruência módulo d, tabuadas finitas de adição e de multiplicação (módulo d), as propriedades de cancelamento compatíveis com a relação de congruência módulo d, congruências lineares (a uma incógnita): condição de existência de solução, exibição formal de solução e método prático de resolução (com exemplos), sistema completo de resíduos (módulo d), solução de equações diofantinas lineares a duas incógnitas via congruência (aprofundando a resolução de congruências lineares a uma incógnita), solução de uma congruência linear a duas incógnitas, solução de sistemas de congruências lineares (a uma incógnita),  sistema reduzido de resíduos (módulo d), Teorema de Fermat (Euler), Corolário de Fermat (Euler), Teorema de Euler, Teorema de Wilson (Lagrange), (+24) exemplos detalhados, (+31) exercícios resolvidos, (+26) exercícios propostos etc. Consta um apêndice sobre a aritmética de classes de congruência módulo d.

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 07

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 06

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 06 

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Público alvo:  Professores e Licenciandos.

Conteúdo (26 páginas): Duas definições equivalentes de número primo, duas definições equivalentes de número composto, números primos versus números compostos, a importância do número natural um, a importância dos números primos, o Lema Fundamental da Aritmética (todo número natural diferente de um possui algum divisor primo), entendendo que todo número natural diferente de um é igual a um produto de um ou mais números primos, entendendo que um número natural n diferente de um é composto se e somente se possui algum divisor primo cujo quadrado é maior do que um e menor do que ou igual a n, Crivo de Eratóstenes I, sucessor do produto dos k primeiros números primos (Ek), a infinitude dos primos, a infinitude dos compostos, o Teorema Fundamental da Aritmética (todo número natural diferente de um possui uma única Decomposição Canônica em Primos - DCP), divisores naturais de um número natural n via a sua DCP (enumeração, contagem, soma e produto de todos eles), MDC e MMC via a DCP acoplada dos números naturais dados, números amigos, números perfeitos, Números (Primos) de Mersenne, Números (Primos) de Fermat, números gêmeos, Conjectura de Goldbach, Teorema de Wilson I, Postulado de Bertrand (Teorema de Chebyshev), DCP de um fatorial, Teorema de Fermat (Euler),  Corolário de Fermat (Euler), Função Fi de Euler (e as suas propriedades), Teorema de Euler, Teorema de Wilson (Lagrange), Corolário de Wilson (Lagrange), (+35) exemplos detalhados, (+85) exercícios resolvidos, (+91) exercícios propostos etc.

Próximo volume: Estudo introdutório completo do assunto Congruências no âmbito da Teoria elementar dos Números Inteiros. 

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 06

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 05

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 05

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Público alvo:  Professores e Licenciandos.

Conteúdo (27 páginas): 

MDC de 2 inteiros: definição, existência, unicidade, notação, propriedades iniciais, Lema de Bézout, diversos corolários comentados e exemplificados, definição de 2 inteiros primos entre si, as três propriedades do MDC de 2 inteiros (distributividade multiplicativa, distributividade divisiva e lei de corte da relação de divisibilidade), diversas propriedades derivadas comentadas e exemplificadas, Lema de Euclides, Algoritmo de Euclides para cálculo de MDC, Algoritmo Estendido de Euclides para determinação de Coeficientes de Bézout, (+10) exemplos detalhados, (+30) exercícios resolvidos, (+3) exercícios propostos.

MDC de n inteiros: definição, existência, unicidade, notação, propriedades iniciais, Lema de Bézout, corolários comentados, definição de n inteiros primos entre si, as três propriedades do MDC de n inteiros (distributividade multiplicativa, distributividade divisiva e associatividade), Algoritmo de Euclides para cálculo de MDC em geral, Algoritmo Estendido de Euclides para determinação de Coeficientes de Bézout em geral, (+7) exemplos detalhados,  (+2) exercícios resolvidos, (+8) exercícios propostos.

MMC de n inteiros: definição, existência, unicidade, notação, propriedades iniciais, Lema Fundamental do MMC: O MMC de 2 inteiros, corolários comentados, definição alternativa de MMC, corolário dos múltiplos comuns e do MMC, as três propriedades do MMC de n inteiros (distributividade multiplicativa, distributividade divisiva e associatividade), cálculo de MMC em geral, (+10) exemplos detalhados, (+24) exercícios resolvidos, (+13) exercícios propostos (incluindo ainda: Álgebra de MMC e MDC em geral, MDC de dois inteiros da forma a^m + (-1)^n e problemas relacionados aos Números de Fibonacci).

Equações lineares a incógnitas inteiras: estudo completo do caso a duas incógnitas (apresentação do problema, condição de existência de solução, exibição formal de solução e metodologia prática de resolução com vários exemplos), estudo prático do caso a três incógnitas, estudo prático do teorema de resto chinês, (+8) exemplos detalhados,  (+14) exercícios resolvidos, (+5) exercícios propostos etc.

Próximo volume: Números primos, Teorema de Fermat, Teorema de Euler e Teorema de Wilson.

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 05

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 04

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 04

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Público alvo:  Professores e Licenciandos.

Conteúdo (19 páginas): 

Numeração: Existência-unicidade e determinação da representação de um inteiro arbitrário em uma base qualquer, conversões entre representações de um mesmo inteiro em bases quaisquer, corolário de representação binária, pesagem de cargas inteiras positivas usando somente pesos de potências de dois, pesagem de cargas inteiras positivas usando somente pesos de potências de três, caso geral do problema da moeda falsa, Jogo de Nim I, Jogo de Nim II, Jogo de Nim III. (+8) exemplos, (+8) exercícios propostos, (+9) exercícios resolvidos etc.

Teorema de resto: Lema de resto, versão fraca do teorema de resto, versão forte do teorema de resto, (+1) exemplo, (+3) exercícios resolvidos etc.

Critérios de resto (base dez): Divisores de 10, 9 (3), 11, divisores de 10^p, 6 e 7. Determinação de algarismo decimal terminal. Determinação do resto (por b) de uma potência (de expoente natural) de um resto (por b). (+14) exemplos, (+2) exercícios resolvidos etc.

Critérios de resto (base b): Divisores de b, divisores de b-1, divisores de b+1, divisores de b^p, (+2) exercícios resolvidos, (+8) exemplos etc. 

Algoritmos elementares (base dez): Comparação, adição, subtração, multiplicação e divisão euclidiana de números naturais dados em suas representações base dez. Todos os algoritmos (operacionais) são exemplificados de maneira tabular (com dimensões pré-fixadas), para a máxima compreensão possível.

Algoritmos elementares (base b): Comparação, adição, subtração, multiplicação e divisão euclidiana de números naturais dados em suas representações base b. Todos os algoritmos (operacionais) são exemplificados de maneira tabular (com dimensões pré-fixadas), para a máxima compreensão possível.

Próximo volume: MDC, MMC e Equações Lineares a Incógnitas Inteiras.

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 04

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 03

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 03

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Público alvo: Professores e Licenciandos.

Conteúdo (11 páginas): Definição da relação de divisibilidade, definição ampla de divisibilidade, definição de quociente exato, prova de que  zero é o único múltiplo universal, prova de que 1 e (-1) são os únicos divisores universais, propriedade fundamental da relação de divisibilidade, prova de que todo inteiro não nulo possui uma quantidade finita e par de divisores não nulos que somam zero, todas as propriedades adicionais da relação de divisibilidade, prova de que a relação de divisibilidade é uma relação de ordem sobre os inteiros não negativos e uma contrapartida multiplicativa da relação menor do que ou igual a sobre os inteiros positivos, definição de divisão euclidiana, prova de existência e unicidade do quociente e do resto em uma divisão euclidiana, Lema de Eudóxio, exemplos de divisão euclidiana, método para realizar qualquer divisão euclidiana fazendo (na prática) apenas a divisão euclidiana dos valores absolutos dos dois números inteiros dados, mostrando quando é possível permutar divisor e quociente sem alterar o dividendo e o resto em uma divisão euclidiana, como obter todos os divisores de um inteiro não nulo, prova de que um inteiro positivo é um quadrado perfeito se e somente se possui uma quantidade ímpar de divisores positivos, como calcular o produto dos divisores positivos de um inteiro não nulo, prova de que o produto de k inteiros consecutivos é sempre divisível por k!,  a partição dos inteiros via divisão euclidiana de divisor maior do que ou igual a dois, prova de que multiplicar/dividir dividendo e divisor por um mesmo inteiro positivo c não altera o quociente mas multiplica/divide o resto por c, (+15) exemplos detalhados, (+38) exercícios resolvidos, (+6) exercícios propostos etc.

Próximo volume: Numeração, teorema de resto, critérios de resto (base dez), critérios de resto (base qualquer), algoritmos das operações elementares (base dez), algoritmos das operações elementares (base qualquer).

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 03

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 02

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 02 

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Público alvo: Professores e Licenciandos.

Conteúdo (22 páginas): 

- Concluindo a fundação: Soma generalizada, produto generalizado, definição equivalente de soma generalizada, definição equivalente de produto generalizado, associatividade generalizada, comutatividade generalizada, distributividade generalizada, propriedade generalizada de anulação de um produto, propriedade generalizada de anulação de uma soma de quadrados, propriedade generalizada do valor absoluto de um produto, desigualdade triangular generalizada, propriedade generalizada de anulação de uma soma de números não negativos, conjuntos numéricos inteiros, partição dos inteiros em pares e ímpares, conjuntos dos pares e dos ímpares (e as suas propriedades), quociente de dois números, (+10) propriedades fundamentais etc.

- Potenciação de expoente natural: Definição e considerações iniciais,  expoente zero, base zero e expoente zero, um operador para a potenciação, precedência e associatividade, leis dos expoentes, monoticidade de potência de base não negativa, monoticidade de potência de expoente ímpar, monoticidade absoluta de potência de expoente par, diferença de enésimas potências (e propriedades afins), (+10) propriedades fundamentais etc.

- (13+) Aplicações iniciais de indução matemática: Soma dos n primeiros naturais, soma dos quadrados dos n primeiros naturais, entendendo que 2^n é quase sempre maior do que 2n + 1, entendendo que 2^n é quase sempre maior do que n^2, sequências aritméticas (A), sequências geométricas (G), definições indutivas, exemplo de indução de ordem superior: recorrência de segunda ordem com Iteração de Fibonacci, três versões da famosa Desigualdade de Bernoulli, fatoriais, número de subconjuntos de um conjunto finito, Binômio de Newton (e diversas propriedades afins), (+5) exercícios propostos etc.

- (8+) Aplicações intermediárias de indução matemática: Conjecturas e Provas: soma dos n primeiros naturais ímpares, soma dos n primeiros naturais (duas conjecturas),  soma dos quadrados dos n primeiros naturais, soma dos cubos dos n primeiros naturais, sequências aritméticas (termo geral e soma dos n primeiros termos) (A), sequências geométricas (termo geral e soma dos n primeiros termos) (G), sequências geométrico-aritméticas (termo geral e soma dos n primeiros termos) (GA), resolução de uma recorrência de segunda ordem.  Aplicações Lúdicas: A Sequencia de Fibonacci (o problema dos coelhos e o termo geral), A falácia da cor do cavalo ("todos os cavalos possuem a mesma cor"), As Torres de Hanói, A moeda falsa (para 2^n moedas e para 3^n moedas), A Pizza de Steiner (duas soluções), O Queijo de Steiner (duas soluções), (+12) exercícios propostos etc.

- (12+) Aplicações avançadas de indução matemática:  entendendo que um natural elevado ao seu sucessor é quase sempre maior do que a mesma potência com os termos trocados, entendendo que o quadrado do fatorial de um natural n é quase sempre maior do que a enésima potência de n, estudo introdutório da sequência canônica que converge para o número real e (ela é crescente e cada um dos seus termos está entre 2 e 3), entendendo que a enésima potência do natural n quase sempre supera o produto dos n primeiros naturais ímpares, entendendo que a enésima potência do natural n quase sempre supera o produto dos n primeiros naturais ímpares por n/2, desigualdades das três médias (AGH), relação das três  médias (AGH) para um ou dois números, interpretação geométrica das três médias (AGH) para dois números, sequências harmônicas (H), confronto média (AGH) versus sequência (AGH), média quadrática (Q), Produto de Girard, soma telescópica (ou soma encaixante), (+4) exercícios propostos etc. 

Próximo volume: Divisibilidade e Divisão Euclidiana.

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 02

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS 01

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS  01

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Público alvo: Professores e Licenciandos.

Conteúdo (15 páginas): Números (operações e as suas propriedades fundamentais), a operação de adição, a operação de multiplicação, consistência aditiva da relação de igualdade, consistência multiplicativa da relação de igualdade, os nove axiomas, o oposto do oposto, a operação de subtração, igualdade/diferença, absorvente multiplicativo, obtenção multiplicativa do oposto, regra de sinais, cancelamento aditivo da relação de igualdade, cancelamento multiplicativo da relação de igualdade, anulação de um produto,  anulação quadrático linear, o produto de dois conjugados, entendendo que os quadrados de dois números são iguais se e somente se os números são iguais ou opostos,  sobre a unicidade dos neutros, sobre a unicidade do inverso aditivo,  sobre 1 ser diferente de 0, sobre (-1) ser diferente de 0, sobre precedência e associatividade,  sobre ser bem determinada a soma e o produto de três números quaisquer, números (os positivos, o zero e os negativos), os dois axiomas, desigualdades, relação menor do que (maior do que), relação menor do que (maior do que) ou igual a, quadrado positivo definido, -1 < 0 < 1 , regra de sinais, transitividade [da relação maior do que (menor do que)], cancelamento aditivo [IDEM], cancelamento multiplicativo positivo [IDEM], anti cancelamento multiplicativo negativo [IDEM], consistência aditiva [IDEM], consistência multiplicativa positiva [IDEM], anulação de uma soma de quadrados, monoticidade de quadrado de base não negativa, tricotomia quadrática,  sobre 1 ser diferente de (-1), sobre 2 ser diferente de 0, entendendo que um número é igual ao seu oposto se e somente se ele é igual a zero, sobre a operação de subtração não ser comutativa, sobre a relação de igualdade ser uma relação de equivalência, sobre a relação maior do que (menor do que) ou igual a ser uma relação de ordem e todas as suas propriedades fundamentais, estudo inicial completo sobre valor absoluto e (especialmente) desigualdade triangular, Axioma de Boa Ordem (mínima), propriedade do menor inteiro positivo (não existe inteiro entre zero e um), propriedade de integralidade dos inteiros (não existe inteiro entre quaisquer dois inteiros consecutivos),  Propriedade de Boa Ordem  (máxima e finita), Propriedade de Arquimedes, Propriedade de Indução I (de conjuntos e de proposições), Propriedade de Indução II (de conjuntos e de proposições), Indução de Ordem Superior, Boa Ordem (mínima) equivale a Boa Ordem (máxima) que equivale a Indução I ( de conjuntos) que equivale a Indução I (de proposições) que equivale a Indução II (de conjuntos) que equivale a Indução II (de proposições) etc.

Próximo volume: Concluindo a fundação da teoria elementar dos números (incluindo todas as generalizações cabíveis no momento), potenciação de expoente inteiro positivo e aplicações gerais (iniciais, intermediárias e avançadas) de indução matemática.

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS INTEIROS  01

PORCENTAGEM

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O presente volume traz mais de 65 problemas resolvidos de Porcentagem (para todos os fins), com resoluções extremamente detalhadas e com raciocínio plenamente sintético (ensinando o aluno a construir argumentos), sem nunca utilizar fórmulas (o que poda a generalidade dos conceitos e tende a dar uma ideia errada sobre o que seja de fato a Matemática) e sem jamais resolver equações (o que torna problemas inacessíveis e alonga demais resoluções). O mínimo absoluto de teoria é apresentado de forma clara e direta, combinada com imediata aplicação em problemas contextualizados interessantes e instigantes. O texto é acessível aos alunos autodidatas a partir do sétimo ano de escolaridade, com os eventuais itens destinados aos nossos colegas professores rotulados como COMENTÁRIO. Um gabarito completo é também incluído.

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