CURRÍCULO PARA O ENSINO MÉDIO
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INTRODUÇÃO
Este é um post incentivando a discussão dos leitores sobre o importante tema do Currículo para o Ensino Médio.
Participem...
Pensemos em uma turma com seis tempos semanais, de alunos interessados (mas não necessariamente "bons") e focados na continuação dos seus estudos em algum curso superior na área de exatas.
Por hora tiremos os holofotes dos flagrantes problemas sociais associados, algo que certamente será discutido em um outro momento.
Falemos aqui da formação e da atuação docente. Façamos referência a polêmica figura do "professor comum".
[#00] Apresentamos um esqueleto completo de currículo tendo por base os textos da SBM (Sociedade Brasileira de Matemática). Acrescentamos comentários pontuais numerados para facilitar as intervenções dos leitores.
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BASE COMUM A TODAS AS SÉRIES
- Todo capítulo deve começar com um problema que não mencione no seu enunciado o conteúdo a ser estudado, mas que precise do mesmo na sua resolução. Tal noção serve como padrão de fato para os verdadeiros problemas de aplicação.
[#01] Uma outra possibilidade (não exclusiva) é utilizar uma honesta contextualização histórica inicial do assunto a ser desenvolvido, o que leva naturalmente ao tópico seguinte.
- Todo capítulo deve conter, ao longo da exposição apresentada, uma caracterização histórica do seu conteúdo. "O que o motivou?" "Como foi construído?" "Em que contexto?" "Como evoluiu?" "Com que aplicações?" etc.
[#02] Feita a fundação histórica de maneira bem integrada e orgânica, notas suplementares incorporadas como apêndices também são benéficas.
[#03] Obviamente o "professor comum" terá que mudar drasticamente a sua atitude já para cumprir essas duas primeiras condições. Tão acostumado a "ensinar x" para "resolver exercícios sobre x", não lhe é natural atuar como recomendado logo acima. Os seus parcos conhecimentos de história da matemática também provavelmente irão deixá-lo na mão logo em seguida (isto se ele se atrever ao menos a tentar).
- Todo capítulo deve servir equilibradamente cada parte da trinca conceituação-manipulação-aplicação. Poucos docentes parecem entender que para fazer aplicações realistas a conceituação é crucial. Infelizmente, os nossos livros didáticos (ainda) apostam em um excesso de manipulação, com a conceituação sendo feita de modo um tanto apressado (e burocrático) e com as aplicações apresentando geralmente um caráter artificial, se fazendo presente a infame "falsa contextualização".
[#04] Ponto crucial. O nosso ensino ainda se dá como se a matemática fosse sinônimo de manipulação. O que é uma completa mentira. A pseudo-contextualização é talvez ainda mais vil. Dois exemplos muito comuns sendo: (i) Questões conceitualmente triviais, soterradas em enunciados risivelmente inchados e pouco instruídos e (ii) As famosas fórmulas prontas que aparecem magicamente para alegadamente resolver problemas concretos e via de regra são (SIC!) completamente irrealistas e definidas em termos de parâmetros inteiros (!?).
- Todo capítulo deve valer por si mesmo. Deve prever deficiências trazidas pelo aluno. Deve antever temas que não serão retomados como deveriam a seguir e oferecer vislumbres dos mesmos.
[#05] Nada de revisão enfadonha, burocrática e desmotivadora. Devemos abraçar o novo conteúdo e fazer uma revisão transparente. Os vislumbres futuros devem sempre se dar, mesmo que de modo meramente informativo. Muitos programas de currículo minimo estão fadados ao fracasso por não tratarem EXPLICITAMENTE dessas necessárias flexibilizações. Por atacar a intrínseca linearidade da disciplina, este ponto exige demais da criatividade docente.
- Todo capítulo deve fazer parte de um todo coerente e bem encadeado, atacando a impressão de que a matemática é formada por uma infinidade de pequenos tópicos estanques.
[#06] Se o docente não consegue conceber nenhuma aplicação concreta de determinado conteúdo, ele deve fazer aplicações do mesmo em assuntos matemáticos que já foram vistos, sempre aumentando a coesão da sua apresentação. Alusões a conteúdos futuros devem ser feitas significativamente, mesmo que de modo meramente informativo (via vídeos, pesquisas dirigidas, passeios etc.).
- Todo assunto deve receber múltiplas abordagens: numérica, algébrica, geométrica etc.
[#07] O docente deve conhecer com profundidade todos os conceitos e ser sempre criativo na sua apresentação. É simplesmente necessário.
- Calculadoras, computadores e dispositivos eletrônicos em geral devem ser utilizados sob estrita supervisão docente e somente em atividades pedagogicamente planejadas. Devem ser usados aplicativos matemáticos (dinâmicos ou não), notando que planilhas e editores de símbolos matemáticos se encaixam nesse grupo.
[#08] Cabe notar que ninguém é escravo da tecnologia, muito menos o docente. O uso de tecnologia deve ser o mais natural possível. Perceba também que o docente deve ter um mínimo de noção sobre o funcionamento interno do aplicativo sendo usado, não bastando (muitas vezes) um conhecimento meramente utilitário. Caso contrário ele será incapaz de: explicar uma perda de precisão catastrófica no uso de uma calculadora, antever se um cálculo vai demorar um segundo ou um milhão de anos em uma aplicativo numérico, equilibrar experimentação e demonstração no uso de um aplicativo de geometria dinâmica etc.
- Referência básica: Todos os livros da Coleção do Professor de Matemática (CPM). Continuada pela Coleção do PROFMAT (CPROFMAT).
[#09] Lembremos sempre que tais livros foram escritos para professores e não para alunos.
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PRIMEIRA SÉRIE (DÉCIMO ANO)
00A - Introdução ao Método Dedutivo
00B - Introdução aos Conjuntos Numéricos
00C - Introdução a Geometria Analítica (com vetores)
01A - Introdução ao Estudo das Funções
01B - Funções Afins
01C - Funções Quadráticas
01D - Aprofundando o Estudo das Funções
02A - Funções Exponenciais
02B - Funções Logarítmicas
03A - Trigonometria de Ângulos
03B - Trigonometria de Números Reais
- 00A Introdução ao Método Dedutivo: Introduzir a linguagem dos conjuntos como o adequado modelo matemático para o pensamento lógico. Introduzir o método dedutivo. Explicar de maneira clara o que são: axioma, conceito primitivo, definição, teorema, hipótese, tese, lema, corolário etc. Estabelecer um uso honesto do método dedutivo que será seguido ao longo de todo o ensino médio. Apresentar técnicas de demonstração. Exercitar a prática de demonstrações. Desenvolver a resolução de problemas envolvendo raciocínios: puro, conjuntivo e lógico.
[#10] O cartão de visitas da Matemática do Ensino Médio. Aqui deve ser explicado que um matemático profissional não é uma espécie de calculista recluso, mas sim alguém que atua na construção de elaborados argumentos e na demonstração inequívoca de sua validade, notando ainda que o docente não tem outra chance para estabelecer um canal de demonstrações entre ele e os seus alunos (é agora ou nunca mesmo). Devem ser incluídas provas de fatos simples sobre teoria elementar dos números, álgebra e geometria. Deve ser aprofundado o entendimento do que significa de fato a resolução de uma equação (inequação). Idem para sistemas de equações (inequações).
- 00B Introdução aos Conjuntos Numéricos: Revisar e aprofundar os estudos (propriedades algébricas, algoritmos de cálculo baseados nas representações decimais e interpretações geométricas) a respeito dos principais conjuntos numéricos (naturais, inteiros não negativos, inteiros, racionais e reais). Integrar ainda nessa exposição sobre os números uma transparente revisão de outros tópicos, algébricos (resolução de equações e inequações por exemplo), geométricos (medidas de segmentos de reta, medidas de ângulos, áreas, teorema de pitágoras etc.) ou mesmo de outra natureza. Tratar do tópico de valor absoluto (o infame módulo, que não possui capítulo específico neste currículo) de forma concisa e direta, enfatizando a desigualdade triangular e (em termos manipulativos) não indo muito além da resolução de equações e inequações simples (preferencialmente via argumentos geométricos). Falar de sequências (incluindo recorrências), valores aproximados, erros etc. Desenvolver a resolução de problemas envolvendo raciocínios: numérico, algébrico e geométrico.
[#11] É crucial a passagem dos racionais para os reais. Algo que costuma ser um grave problema conceitual para o "professor comum". Falar de limites de sequências disponibiliza as noções de continuidade e de limite quando for de interesse conceitual utilizá-las. É o suficiente de cálculo infinitesimal para a escola básica.
- 00C Introdução a Geometria Analítica (com vetores): Os vetores planos devem ser introduzidos. Deve ser apresentado o método da geometria analítica (no caso plano) ao mesmo tempo que se continua a fazer uma revisão transparente de tópicos importantes da geometria e da álgebra do fundamental. O método analítico deve ser usado na resolução de problemas de geometria plana, especificamente aqueles em que um sistema de coordenadas não é fixado pelo enunciado, ficando a melhor escolha a cargo de quem for resolver a questão. O caminho inverso, de atacar problemas algébricos via geometria, também deve ser explorado. Tópicos a serem estudados (entre outros): Preliminares, subdivisão de segmentos de reta em partes congruentes (e afins), distância entre dois pontos, reta (equação explícita de um reta não vertical, equação implícita de um reta qualquer e incidência), paralelismo e perpendicularismo, circunferência (equação implícita e incidência), parábola (estudo completo, incluindo translação de sistemas de coordenadas) e hipérbole equilátera canônica xy = 1 (estudo completo, incluindo translação de sistemas de coordenadas). Após tais assuntos serem apresentados, os principais resultados devem ser resumidos. Duas perguntas devem então ser feitas:
i) O que muda quando as unidades de comprimento das retas coordenadas são diferentes?
ii) O que muda quando as retas coordenadas não são perpendiculares?
[#12] Outro momento para revisão e aprofundamento de tópicos fundamentais de geometria plana. Introduzir um forte unificador matemático: O vetor. Introduzir (em seguida) outro forte unificador matemático: O método das coordenadas. Boa hora para convencer o aluno que ele não precisa de um determinante para encontrar a equação de uma reta. Este capítulo serve para enxugar drasticamente os capítulos seguintes (especialmente os próximos quatro) .
01A - Introdução ao Estudo das Funções: Aqui deve ser dada a definição geral de função seguida de bons exemplos (abstratos e concretos) que ilustrem bem a abrangência e a utilidade do conceito (nada de setinhas e bolinhas). A fascinante noção de cardinalidade de um conjunto deve também se fazer presente. O capítulo deve culminar com uma tour (centrada no conceito de função) dos conteúdos a serem vistos em todo o ensino médio. Aqui seguem algumas (poucas) ideias para esse passeio (eminentemente informativo):
- Funções Afins, Quadráticas, Exponenciais e Logarítmicas: Modelagem matemática de problema prático com obtenção e análise de resultados ("problema do taxista", "problema do número do sapato", "espelhos e antenas parabólicas", "problema dos juros compostos", "problema do remédio", "problema da salmoura", "problema de decaimento radioativo" etc.).
- Trigonometria de Ângulos: Cálculo de distâncias inacessíveis a uma medida direta. Exemplos: altura de uma montanha, distância entre duas ilhas, raio da terra etc.
- Trigonometria de Números Reais: Estudo de fenômenos periódicos. Síntese de sons. Interface MIDI. Processamento de sinais. Conexão com os números complexos.
- Sequências: Como exemplo de função. Uso de recorrências para cálculos aproximados (de raízes enésimas por exemplo).
- Matemática Financeira, Combinatória, Probabilidade e Estatística: Tomada de decisão.
- Combinatória: Contagem de injeções, sobrejeções e bijeções entre conjuntos finitos. Uso de recorrências para resolução de problemas de contagem.
- Matrizes: Como exemplo de função per se (análogas as sequências) e ainda como um dos três ingredientes de uma transformação linear (do plano no plano ou do espaço no espaço). Computação gráfica.
- Geometria: Medidas e transformações. Aplicações das curvas cônicas. Programação linear.
- Números Complexos: Múltiplas facetas (número, ponto, vetor etc.). Servem para exemplificar transformações não lineares do plano no plano. Conexão com a trigonometria de números reais.
- Funções Polinomiais (dos reais nos reais): Intervalo positiva/negativa, zeros, intervalo crescente/decrescente, intervalo de concavidade positiva/negativa, máximos, mínimos, inflexões etc.
[#13] Este capítulo é a principal chance do docente de motivar o aluno. Não a percam...
01B - Funções Afins: Basicamente como na CPM (e levando em consideração o nosso prévio capítulo de introdução a geometria analítica com vetores). Cabe esclarecer que é neste capítulo que se fala com mais profundidade de proporcionalidade (direta e inversa) e ainda das muito interessantes (e úteis!) funções poligonais (vide o "problema do imposto de renda").
[#14] O "professor médio" costuma se complicar um pouco no assunto proporcionalidade. Atenção aqui.
01C - Funções Quadráticas: Basicamente como na CPM (e levando em consideração o nosso prévio capítulo de introdução a geometria analítica com vetoress).
[#15] Dar um vislumbre de funções polinomiais em geral e números complexos neste ponto.
01D - Aprofundando o Estudo das Funções: O que foi visto de função até este ponto deve ser retomado e resumido. Incluir mais exemplos variados de função. Deve se falar agora de forma mais detida em: composições, funções definidas por múltiplas sentenças, injeções, sobrejeções, bijeções e principalmente inversas. É também um bom momento para se estudar a fundo potências de base real positiva e expoente racional.
[#16] Incluir cálculos aproximados de potências de base real positiva e expoente racional, o que leva naturalmente ao capítulo seguinte.
02A - Funções Exponenciais: Definir potências de base real positiva e expoente real via aproximações. Definir função exponencial a partir dai (continuidade, monoticidade, injetividade, sobrejetividade, bijetividade e demais propriedades). Enfatizar a exponencial natural.
[#17] Reduzir as manipulações ao máximo. Incluir cálculos aproximados de exponenciais em geral.
02B - Funções Logarítmicas: Definimos a função logarítmica como a inversa da função exponencial, donde se seguem imediatamente as suas propriedades principais. Devemos enfatizar o logaritmo natural.
[#18] Devemos entender que logaritmos não são ferramenta de cálculo numérico, mas sim coadjuvantes em problemas modelados por exponenciais (e protagonistas em problemas concretos envolvendo grandezas definidas em termos de logaritmos, como o PH). Reduzir as manipulações ao máximo. Incluir cálculos aproximados de logaritmos em geral.
03A - Trigonometria de Ângulos: Aqui são tratadas das funções trigonométricas do conjunto dos ângulos planos no conjunto dos números reais. O capítulo deve culminar com o estudo detalhado da resolução de triângulos quaisquer. Para efeitos da escola básica o conteúdo deste capítulo deve ter preferência ao conteúdo do capítulo seguinte (eles dois tem raízes históricas bastante distintas). Aqui abundam aplicações práticas! Qualquer necessária revisão/aprofundamento de tópicos de geometria plana deve ser feita de modo transparente e integrado ao texto.
[#19] Este capítulo e o seguinte tem existência própria e independente.
03B - Trigonometria de Números Reais: Aqui são estudadas as funções trigonométricas dos reais nos reais. Este capítulo deve primar (ao contrário do que tipicamente ainda fazem os nossos livros didáticos) pela objetividade e concisão. A exposição deve ser pautada no absolutamente essencial e ter uma atitude moderada em todos os sentidos. Devem ser incluído cálculos aproximados de valores de funções trigonométricas.
[#20] Este capítulo e o anterior tem existência própria e independente.
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SEGUNDA SÉRIE (DÉCIMO PRIMEIRO ANO)
04A - Sequências
04B - Sequências Aritméticas
04C - Sequências Geométricas
04D - Financeira
05A - Combinatória
05B - Probabilidade
05C - Estatística
06A - Geometria Sintética Espacial
04A - Sequências: Fazer o estudo básico e completo de sequências (finitas e infinitas), somatórios (finitos e infinitos) e produtórios (finitos e infinitos). Fazer o estudo básico e completo de recorrências (para uso futuro em métodos numéricos e além).
[#21] Seguindo com a nossa ênfase em cálculo numérico.
04B - Sequências Aritméticas: Basicamente como na CPM.
[#22] De modo breve e evitando formulismos.
04C - Sequências Geométricas: Basicamente como na CPM.
[#23] De modo breve, evitando formulismos e preparando o terreno para o capítulo seguinte.
04D - Financeira: Basicamente como na CPM.
[#24] Capítulo fascinante. Tratem com muito carinho.
05A - Combinatória: Basicamente como na CPM. Não existe capítulo sobre binômio de newton neste currículo.
[#25] Capítulo deveras fascinante e talvez o mais difícil de toda a escola básica. Tratem com muito cuidado e atenção, seguindo os imortais ensinamentos do falecido Professor Morgado.
05B - Probabilidade: Basicamente como na CPM. Não existe capítulo sobre binômio de newton neste currículo.
[#26] Outro capítulo fascinante. É importante que ele tenha vida própria em relação ao anterior.
05C - Estatística: Basicamente como na CPM. Não existe capítulo sobre binômio de newton neste currículo.
[#27] E mais um capítulo fascinante. É importante que ele inclua uma seção inicial sobre médias em geral.
(Esperamos não ter nenhum fã de binômio de newton entre os leitores. Temos?)
06A - Geometria Sintética Espacial: Basicamente como na CPM. Qualquer necessária revisão ou aprofundamento de tópicos de geometria plana deve ser feita de modo transparente e integrado ao texto.
[#28] Problemas mais difíceis, que não se reduzem prontamente a um problema de geometria plana, devem ser movidos para o capítulo de geometria analítica espacial e lá resolvidos via vetores.
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TERCEIRA SÉRIE (DÉCIMO SEGUNDO ANO)
07A - Geometria Analítica Plana
07B - Geometria Analítica Espacial
08A - Sistemas Lineares
08B - Matrizes
09A - Números Complexos
09B - Funções Polinomiais
07A - Geometria Analítica Plana: O que foi estudado anteriormente deve ser revisado e resumido. A filosofia referida anteriormente deve continuar a ser seguida. Os vetores no plano devem ter seu estudo concluído, donde seguimos falando de: reta (equação implícita e representação paramétrica), circunferência (complementando o que foi visto anteriormente), além de outros tópicos tradicionais como distância de um ponto a uma reta, ângulo entre duas retas, áreas etc. Deve constar ainda uma introdução a programação linear e uma apresentação completa das curvas cônicas.
[#29] E tudo isso sem envolver um determinante sequer.
07B - Geometria Analítica Espacial: Deve ser feito um estudo completamente análogo aquele feito no plano. Quando necessário, fatos da geometria espacial devem ser revistos e reforçados (os problemas de geometria genuinamente tridimensionais devem ser tratados neste capítulo). Devem ser continuados os estudos de programação linear.
[#30] E tudo isso sem envolver um determinante sequer.
08A - Sistemas Lineares: Como nos volumes correspondentes da CPM, levando em conta que não existe capítulo sobre determinantes neste currículo. Aos não iniciados é um estudo básico bastante completo, incluindo uma detalhada interpretação geométrica dos casos 2 x 2 e 3 x 3. As matrizes são introduzidas transparentemente aqui como ferramenta auxiliar organizacional (como meras tabelas).
[#31] E tudo isso sem envolver um determinante sequer.
08B - Matrizes: Basicamente como na CPM, levando em conta que não existe capítulo sobre determinantes neste currículo. Devemos incluir as aplicações próprias do conceito, além de auxiliar na resolução de sistemas lineares. Devem ser tratadas ainda as transformações lineares tradicionais (do plano no plano e do espaço no espaço).
[#32] E tudo isso sem envolver um determinante sequer.
(Esperamos não ter nenhum fã de determinantes entre os leitores. Temos?)
09A - Números Complexos: Basicamente como na CPM, enfatizando ao extremo as múltiplas facetas dos números complexos.
[#33] Com a eliminação do binômio de newton e dos determinantes, os dois próximos pontos vulneráveis no currículo são os números complexos e a trigonometria de números reais. O autor defende a presença dos números complexos por defender a presença do próximo capítulo. Dai defende a trigonometria de números reais (com todas as restrições já mencionadas) por ela ser inseparável dos números complexos nas aplicações (além da trigonometria de ângulos ter presença claramente cativa).
09B - Funções Polinomiais: O estudo básico de polinômios e equações polinomiais deve ser feito como na CPM. O estudo das funções polinomiais de R em R deve ser feito (de modo quase que utilitário) usando ferramentas de matemática dinâmica. O cálculo dos zeros de tais funções serve como uma introdução aos métodos numéricos (e além). O estudo das funções polinomiais de C em C deve ser feito (de modo quase que utilitário) usando ferramentas de matemática dinâmica. Tal estudo exemplifica um tipo mais geral de transformação do plano no plano, que serve de culminância para este currículo.
[#34] O que bem resume este currículo: tremendo apego ao cálculo numérico, múltiplas abordagens ao extremo e uso massivo de tecnologia.
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CONCLUSÃO
Esperamos que o leitor tenha aproveitado bem esse tempo de leitura, refletindo sobre a sua prática pedagógica.
Aguardamos o seu retorno.
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CURRÍCULO PARA O ENSINO MÉDIO
