PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

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Aqui relacionamos as demonstrações para as tradicionais propriedades operacionais dos logaritmos, usando essencialmente o conceito de função inversa e tendo por conhecido o assunto de função exponencial (do Ensino Médio).

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Seja a um número real positivo e diferente de um e seja f a função que a cada número real x associa um único número real positivo:

f (x) = EXP (a, x) = a ^ x = "EXPonencial na base a de x"

Prova-se que a função f é invertível.

Se g é a função inversa de f, então g associa a cada número real positivo x um único número real:

g (x) = LOG (a, x) = "LOGaritmo na base a de x"

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PROPRIEDADES

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I) a ^ LOG (a, x) = x

É imediato da definição de função inversa que:

f (g (x)) = x para todo número real positivo x.

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II) LOG (a, a ^ x) = x.

É imediato da definição de função inversa que:

g (f (x)) = x para todo número real x.

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III) LOG (a, 1) = 0.

Como f (0) = 1 então g (1) = 0.

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IV) LOG (a, a) = 1.

Como f (1) = a então g (a) = 1.

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V) LOG (a, x1 * x2) = LOG (a, x1) + LOG (a, x2).

Sendo f (y1) = x1, g (x1) = y1, f (y2) = x2 e g (x2) = y2, tem-se sempre que:

f (y1) * f (y2) = f (y1 + y2)

x1* x2 = f (y1 + y2)

g (x1 * x2) = g (f (y1 + y2))

g (x1 * x2) = y1 + y2

g (x1 * x2) = g (x1) + g (x2)

(para quaisquer números reais e positivos x1 e x2).

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VI) LOG (a, x1 / x2) = LOG (a, x1) ─ LOG (a, x2).

Sendo f (y1) = x1, g (x1) = y1, f (y2) = x2 e g (x2) = y2, tem-se sempre que:

f (y1) / f (y2) = f (y1 ─ y2)

x1 / x2 = f (y1 ─ y2)

g (x1 / x2) = g (f (y1 ─ y2))

g (x1 / x2) = y1 ─ y2

g (x1 / x2) = g (x1) ─ g (x2)

(para quaisquer números reais e positivos x1 e x2).

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VII) LOG (a, x ^ k) = k * LOG (a, x).

Sendo f (y) = x e g (x) = y, tem-se sempre que:

f (y) ^ k = f (y * k)

g (f (y) ^ k) = g (f (y * k))

g (x ^ k) = y * k

g (x ^ k) = k * g (x)

(para todo número real positivo x e qualquer número real k).

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VIII) LOG (a, b) = ( LOG (c, b) ) / ( LOG (c, a) ).

Segue imediatamente da igualdade:

LOG (c, b) = LOG ( c , a ^ LOG (a, b) ) = LOG (a, b) * LOG (c, a)

(Para quaisquer números reais positivos b e c, com c diferente de um).

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